高等数学（一）试卷及答案
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一、填空题（每小题１分，共１０分）
_________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为_______________。
_________
√１－ ｘ2
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）
３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ ─────────────── ＝___。
h→o h
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是___。
ｘ
５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4
１
６．ｌｉｍ Ｘｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ
７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为_______。
0 0
ｄ3ｙ ３ ｄ2ｙ
９．微分方程─── ＋ ──（─── ）2 的阶数为____________。
ｄｘ3 ｘ ｄｘ2
∞ ∞
１０．设级数 ∑ ａn发散，则级数 ∑ ａn _______________。
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的○内，１～１０每小题
１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ ( )
ｘ
１ １ １
①１－ ── ②１＋ ── ③ ──── ④ｘ
ｘ ｘ １－ ｘ
１
２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１ 是 ( )
ｘ
①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量
３．下列说法正确的是 ( )
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为( )
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 ( )
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数
③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０
ｄ ｄ
④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ
ｄｘ ｄｘ
1
６．∫ │ｘ│ｄｘ ＝ ( )
-1
① ０ ② １ ③ ２ ④ ３
７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 ( )
①平行于ｘｏｙ面的平面
②平行于ｏｚ轴的平面
③过ｏｚ轴的平面
④直线
ｘ
８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ
3 ＋ ｙ3 ＋ ｘ2 ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ ( )
ｙ
１
①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ） ③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）
ｔ2
ａn＋１ ∞
９．设ａn≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn ( )
n→∞ ａ n=1
①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散
②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散
③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散
④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散
１０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 ( )
①一阶线性非齐次微分方程
②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程
④二阶微分方程
（二）每小题２分，共２０分
１１．下列函数中为偶函数的是 ( )
①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１ ③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│
１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使 ( )
①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）
③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）
１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的 ( )
①充分必要的条件
②必要非充分的条件
③必要且充分的条件
④既非必要又非充分的条件
ｄ
１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2 ，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝ ( )
ｄｘ
①ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ③１＋ｓｉｎｘ ④１－ｓｉｎｘ
１５．过点（１，２）且切线斜率为 ４ｘ3 的曲线方程为ｙ＝ ( )
①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１ ④ｘ4－１
１ x
１６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝ ( )
x→0 ｘ3 0
１
① ０ ② １ ③ ── ④ ∞
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ ( )
x→0 ｘ2＋ｙ2
y→0
① ０ ② １ ③ ∞ ④ ｓｉｎ１
１８．对微分方程 ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是 ( )
① 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ'
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ───
ｄｙ
１ ｄｐ
④ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝── ───
ｐ ｄｙ
∞ ∞
１９．设幂级数 ∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛， 则 ∑ ａnｘn 在│ｘ│〈│ｘo│ ( )
n=o n=o
①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn有关
ｓｉｎｘ
２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝ ( )
D ｘ
1 1 ｓｉｎｘ
① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ
0 x ｘ
__
1 √y ｓｉｎｘ
② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ
0 y ｘ
__
1 √x ｓｉｎｘ
③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ
0 x ｘ
__
1 √x ｓｉｎｘ
④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ
0 x ｘ
三、计算题（每小题５分，共４５分）
___________
／ ｘ－１
１．设 ｙ＝ ／ ────── 求 ｙ' 。
√ ｘ（ｘ＋３）
ｓｉｎ（９ｘ2－１６）
２．求 ｌｉｍ ─────────── 。
x→4/3 ３ｘ－４
ｄｘ
３．计算 ∫ ─────── 。
（１＋ｅx ）2
t 1 ｄｙ
４．设ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求───
0 t ｄｘ
５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。
___
６．设 ｕ＝ｅx＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。
x asinθ
７．计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。
0 0
ｙ＋１
８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）2ｄｘ 通解 。
ｘ＋１
３
９．将 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数 。
（１－ｘ）（２＋ｘ）
四、应用和证明题（共１５分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为ｋ〉０ ）
求速度与时间的关系。
___ １
２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── 。
ｘ
附：高等数学（一）答案和评分标准
一、填空题（每小题１分，共１０分）
１．（－１，１）
２．２ｘ－ｙ＋１＝０
３．５Ａ
４．ｙ＝ｘ2＋１
１
５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ
２
６．１
７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
π/2 π
８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ
0 0
９．三阶
１０．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的○内，１～１０每小题
１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１．③ ２．③ ３．④ ４．④ ５．②
６．② ７．② ８．⑤ ９．④ １０．③
（二）每小题２分，共２０分
１１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③
１６．② １７．① １８．③ １９．① ２０．②
三、计算题（每小题５分，共４５分）
１
１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ （２分）
２
１ １ １ １ １
──ｙ'＝──（────－──－────） （２分）
ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３
__________
１ ／ ｘ－１ １ １ １
ｙ'＝── ／──────（────－──－────） （１分）
２ √ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３
１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）
２．解：原式＝ｌｉｍ ──────────────── （３分）
x→4/3 ３
１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］
＝ ────────────────────── ＝８ （２分）
３
１＋ｅx－ｅx
３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分）
（１＋ｅx）2
ｄｘ ｄ（１＋ｅx）
＝∫─────－∫─────── （１分）
１＋ｅx （１＋ｅx）2
１＋ｅx－ｅx １
＝∫───────ｄｘ ＋ ───── （１分）
１＋ｅx １＋ｅx
１
＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋ ───── ＋ ｃ （１分）
１＋ｅx
４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，
ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ（３分）
ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －ｔｇｔ （２分）
ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分）
ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２
所求直线方程为 ────＝────＝──── （２分）
１ ０ －３
__ __
６．解：ｄｕ＝ｅx +√y + sinzｄ（ｘ＋√ｙ ＋ｓｉｎｘ） （３分）
__ ｄｙ
＝ｅx + √y + sinz［（１＋ｃｏｓｘ）ｄｘ＋ ─────］ （２分）
___
２√ｙ
π asinθ １ π
７．解：原积分＝∫ ｓｉｎθｄθ ∫ ｒｄｒ＝ ──ａ2 ∫ ｓｉｎ3θｄθ （３分）
0 0 ２ 0
π/2 ２
＝ａ2 ∫ ｓｉｎ3θdθ ＝ ── ａ2 （２分）
0 ３
ｄｙ ｄｘ
８．解：两边同除以（ｙ＋１）2 得 ──────＝────── （２分）
（１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2
ｄｙ ｄｘ
两边积分得 ∫──────＝∫────── （１分）
（１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2
１ １
亦即所求通解为 ──── － ──── ＝ｃ （２分）
１＋ｘ １＋ｙ
１ １
９．解：分解，得ｆ（ｘ）＝──── ＋ ──── （１分）
１－ｘ ２＋ｘ
１ １ １
＝──── ＋ ── ───── （１分）
１－ｘ ２ ｘ
１＋──
２
∞ １ ∞ ｘn ｘ
＝∑ ｘn ＋ ── ∑ （－１）n── （ │ｘ│〈１且│──│〈１ ）（２分）
n=0 ２ n=0 ２n ２
∞ １
＝∑ ［１＋（－１）n ───］ｘn （ │ｘ│〈１） （２分）
n=0 ２n+1
四、应用和证明题（共１５分）
ｄｕ
１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足ｍ＝──＝ｍｇ－ｋｕ （３分）
ｄｔ
１
解方程得ｕ＝──（ｍｇ－ｃｅ-kt/m） （３分）
ｋ
ｍｇ
由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得ｕ＝──（１－ｅ-kt/m） （２分）
ｋ
__ １
２．证：令ｆ（ｘ）＝２√ｘ ＋ ── － ３ 则ｆ（ｘ）在区间［１，＋∞］连续 （２分）
ｘ
１ １
而且当ｘ〉１时，ｆ'（ｘ）＝ ── － ── 〉０ （２分）
__ ｘ2
√ｘ
因此ｆ（ｘ）在［１，＋∞］单调增加 （１分）
从而当ｘ〉１时，ｆ（ｘ）〉ｆ（１）＝０ （１分）
___ １
即当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── （１分）
ｘ
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